第十一届易与现代化国际研讨会
（司徒戎生）（西安建筑科技大学）

易经八卦及六十四卦的数学结构表明，远在五千年前伏羲氏早己解决“二进制”与“十进制”额定转换关系，既然杨雄于二千年前就己拟易而作太玄，解决了“三进制”与“十进制”的转换关系，那种认为伏羲氏先天图出自宋邵庸之说就不攻自破了。

太玄经为西汉末年杨雄（公元前53—公元18年）模拟《周易》所创，是一种三进制周期运动，即三元论的宇宙生成模式，是继《易经》二进制周期运动，即二元论的宇宙生成模式的又一重要硕果。

一、 太玄与周易

太玄与周易，源同而流异，均源于河图洛书，并都具有混沌（无极）生太极，太极生阴阳，阴阳生三才，三才生万物的阴阳宇宙观，回归了“道生一，一生二，二生三，三生万物的宇宙生成模式；其流异，在于《易经》卦是以阴阳观即二元论（三寓于二）的数理模式反映其世界观，太玄卦则以一二三（阴性、阳性、中性）即三元论的数理模式反映其世界观。 司马光（1019—1086）说玄曰：“易与太玄道同而法异。易画有二，曰阴曰阳；玄画有三，曰一曰二曰三。易有六位，玄有四重。易以八卦相重为六十四卦，玄以一二三错于方州部家为八十一首。易每卦六爻，合为三百八十四爻；玄每首九赞，合为七百二十九赞，皆当期以日。易有元亨利贞，玄有罔直象肯冥。易有大衍之数五十，其用四十有九；玄天地之策各十八，合为三十六策，地则虚三，用三十三策。易揲之以四，玄揲之以三。易七八九六，谓之四象；玄有一二三，谓之三摹。易有象，玄有首；易有爻，玄有赞；易有象，玄有测；易有文言，玄有文；易有系辞，玄有离莹、图、告；易有说卦；玄有数；易有序卦，玄有冲；易有杂卦，玄有错。殊途而同归，百滤而一致，皆本于太极、两仪，三才、四时、五行而归于道德仁义礼也。

二、太玄三角图

〈太玄〉日始于寅，义祖连山，以数为主，但与<易经>卦画不同.<周易>之画只是“--”、“—”两种，由下往上画，每卦立爻，六十四卦共三百八十四爻。〈太玄〉之画有“——”、“--”、“---”三种，由上往下画，每首四画九赞，共八十一首七百二十九赞。

杨雄模拟〈周易〉天、地、人三才，由玄产生阴阳，由阴阳消长变化而使事物一分为三，三分为九的三进制生成模 式。一玄分而为三，曰一方、二方、三方，也称天玄、地玄、人玄；三方又各分为三，合为九州，每州又各分为三，合为二十七部，每部又各分为三，合为八十一家。于是一玄、三方、九州、二十七部、八十一家及其描述的八十一首七百二十九赞构成“太玄经”的宇宙生成模式。即所谓“一玄都复三方，方同九州，技载庶部，分正群家，盖极一为三，极三为九，极九为二十七，极二十七为八十一也”。

太玄八十一首七百二十九赞，每两赞主一昼夜，即九日当两卦，一卦当四日半，共364.5日，外加崎赢两赞而满一岁3651/4日，“与太初历相应，亦有颛顼之历焉”。宋邵庸杨雄作玄可谓见天地之心，又赞杨雄知历法又知历理。

三、太玄方图

与伏羲立十四卦类似，太玄八十一首也可横竖每按九州顺序相交而得，实质上是九州相乘的矩阵。

杨雄作太玄以拟易，易之用二而玄之用三。易用二，故二其二以为四，二其四以为八，二其八以为十六，二其十六以为三十二，二其三十二以为六十四。玄用三，故三其三以为九，三其九以为二十七，三其二十七以为八十一也。易凡六重之，故其爻六；玄凡四重之，故其位四。易画自下而上，自前而后，以≡乾一、≡兑二、≡离三、≡震四、≡巽五、≡坎六、≡艮七、≡坤八，八卦一贞八悔而互重之，故其究为六十四卦。玄画则自上而下，自内而外，以天玄=一方一州、=一方州、二一方三州，地玄二二方一州、二二方二州、--二方三州、人玄---三方一州、---三方二州、---三方三州，九首三部三家而互重之，故其究为八十一首，此易玄取用不同之数也。

四、太玄圆图

杨雄著玄进也同时画出古太玄圆图，它充分体现了“道生一一生二、二生三”的宇宙生成模式。玄以一（—）、二（--）、三（---）错于方州部家为八十一首，最上画为天玄一方（—），共27个；地玄二方（--），共27个；人玄三方（---），都是按照一（—）、二（--）、三（---）分布。接着第二画分别为天玄一州（—），共9个；天玄二州（--），共0个，天玄三州（---），共9个，同理也可画出相应的地玄和人玄，也都是按—、--、---规律分布。再接着画第三画，即天玄一部（—）共3个，天玄二部（--）共3个，天玄三部（---）共三个，按此规律分别画至81首，最下一画则为一家（—）、二家（--）、三家（---），分别重复画至81首，构成一玄三方州二十七部八十一家。

宋鲍云龙在《天原发微》解释“玄旨”曰：“天玄数始于三，太玄即太极也，以象君位。三方即天地人也，以象三才，曰天玄地玄人玄，三方象三公。一方有三州（凡九州象九卿），一州有三部（凡二十七部象大夫）。立天道曰始中终，立地道曰上中下，立人道曰思祸福。易占以变，玄占以通。玄之道赞皆本五行，自中而周以至于养。中为一水，周为二火，钻为三木，闲为四金，少为五土，戾为六水（地六成水），上又为七火，千又为八木，又为九金，数止于九。自羡而起又为一水，此以后皆然。每首九赞，九赞之中初一亦属水，次二属火，次三属木，次四金，次五土，次六又属水，次七又属火，次八又属木，次九又属金。诸首中以五为君，为一首之主，亦如易卦以五爻为主也。玄中首一阳生，对应首一阳始，八十一首皆相对待。奇首阳偶，首阳奇对奇，偶对偶，所主不同而相反。

从太玄三角和圆图可以看出，八十一首皆相对待。以应--为对称轴，所有的二画（--）均不变，其它一画（—）和三画（---）皆相对称对应地互相转化，即—变为---，例如中 与养 ，法 与迎 ，羡 与坚 。

五、太玄的数学结构

1703年，德国数学家莱布尼兹发表了《谈二时制算式》的论文。在此之前他曾获得在中国的法国传教士鲍维特寄给他的两张伏羲先天图而得到启迪，顿开茅塞，与他冥思苦索了十几年的思路不谋而合。虽未体悟到古易图的玄妙深奥，但却立即意识到六十四卦序中二进制与十进制的转换关系，为此论文的发表，他曾致信康熙皇帝，请允许他加入中国国籍。

周易八卦及六十四卦的数学结构表明，远在五千年前伏羲氏早解决“二进制”与“十进制”的转换关系。既然杨雄于二千年前就己拟易而作太玄，解决了“三进制”与“十进制”的转换关系，那种认为伏羲先天图出自宋邵庸之说就不攻自破了。应该说邵庸是在认真钻研了太玄经后，对古易图作了完美的阐述和发挥。所以邵庸同时代的理学大师程颐谓曰：“自古言数者至康节先生说到理上”。朱熹则说：“然扬子云（杨雄）亦略知之，然不及康节之精”。

为了进一步说明太玄八十一首的数学结构，这里简略介绍有关十进制和三进制的一些知识。

（一） 十进制

一个十进制数可以写成
-m
A=∑Ai.10i
i=n-1
例如：8888=8*103+8*102+8*101+8*100

（二） 三进制

三进制只有0、1、2三个数字符号，逢“三”进位，一个三进制的数字可以写成：

-m
B=∑Bi.3i
i=n-1
例如(1022)3=1*33+0*32+2*31+2*30

（三） 三进制转换为十进制

设 —为0，--为1 ，---为2

例如 中 ，按逆时针转900
||||
(0000)3=0*33+0*32+0*31+0*30=0

由式中可以看出，当卦为“—”时，由上而向下画，一方为0，一州为0，一部为0，即0*3系列。

例如应按逆时针转900
(1111)3=1*33+1*32+1*31+1*30=27+9+3+1=40

由式中可以看出，当卦画为“—”时，由上而向下画，其二方为27，二州为9，二部为3，二家为1，即1*3n系列。

例如养 ，按逆时针转900
||||
(2222)3=2*33+2*32+2*31+2*30=54+18+6+2=80

由式中可以看出，当卦画为“---”时，由上而向下画，其三方为54，三州为18，三部为6，三家为2，即2*3n系列。

将所有卦（首）分别按以上的数字代入，即可直接求得八十一首相应的太玄序（与自然数一致）。

例如 中

例如 更

由以上看出，（I）由卦首直接推出的太玄序（自然数）与按三进制公式推出的结果相吻合，这充分说明了三进制是玄本意。既然太玄是拟易而作，所以二进制是易本意更是确凿无疑。

（II）“周易”与“太玄”的“二元论”和“三元论”均源于河图洛书，即所谓“参天两而倚数”是也，也就是说三进制有两个系列，即除1*3n，还有2*3n，三进制是由二进制演化而来的。

（四） 太玄八十一首代数矩阵

我们在用近代数学的思维方法来研究太玄八十一首的代数矩阵

a1
a2
a3
设A= ： ，B=[b1, b2, b3,… …bm]
：
：
an
于是有 a1
a2
a3
C=A*B= ： *[b1, b2, b3,… … bm]
：
：
an
将==一方一州、 一方二州、……三方三州分别代入 （2）式
C=A*B= *[ ]
即得太玄八十一首方图（图2）

从代数矩阵理论来说，八十一首可以有多种排列方式，但只有杨雄的太玄经，严格按照0~80自然数排列，所以是唯一正确的解。

（五） 太玄与代数三项式

根据代数学三项式：

设a=—，b=--，c=---

又根据量子代数学，令ab≠bc，ab≠cb，ac≠ca

（a+b+c）=a4+4a3b+4a3c+6a2b2+12a2bc

+b4+4b3a+4b3c+6b2c2+12b2ac

+c4+4c3a+4c3b+6c2a2+12c2ba

上式中的系数之和为：（1+4+4+6+12）+（1+4+4+6+12）+（1+4+4+6+12）=27+27+27=81

从以上展开式中，可以完全精确的推出81首，其中系数之和共有81种情况。

例如：a4表示四个“—”画符，即

4a3b描述有三个“—”画符和一个“--”画符所组成的四个不排列的卦（首）画，即

同理，6a2b2描述有二个“—”画符和二个“--”画符所组成的六个不排列的卦（首），即

12a2bc描述有二个“—”画符和各一个“--”、“---”所组成的卦（首画）即

同理，可求得b4= …… ，c4= ……各27首，共得太玄八十一首。

六、玄占

（一）揲法

经曰凡筮有法不精不筮，不轨不筮。可以其占不若不筮。当其致精诚厥有所疑于神于灵。休则逢阳星时数辞从，咎则逢星时数辞违。天之策十有八，地之策十有八。地虚其三以扮三，犹大衍之数五十，其用四十有九。故玄筮以三十三策令著既毕，然后别分一策以挂于左手之小指，中分其余，以三揲之，并余于 ，又三数之，数欲尽时至十巳下。得七为一画，余八为二画，余九为三画。凡四度画之，而一首之位成矣。玄之有七八九犹易之有四象也，易卦有四象之气，玄首有三表之象。

具体地说就是（1）以三十三策挂一于左手小指间，将余下的三十二根随意分为左右两簇，分别以三揲之，余下不足三或为三，夹于左手五指间。（2）将夹在左手指间的除去，将余下的又余为左右两簇，但不再挂一，分别以三揲之。按以上两个步骤进行，或得九（堆）为三画（—），得八（堆）为二画（--），得七（堆）为一画（—），重复四次，即由上而下得方、州、部、家成一首。

（二）玄占的同余结构

第一变 N=33

挂一：N1=N-1=33-1=32

分二：N1=a1（左簇）+b1（右簇） （１）

揲三：a1=ral（mod 3） （２）

b1=rbl（mod 3） （３）

（2）＋（3）＝（ral＋bl）（mod 3）

N1＝Ｒ1（mod 3） （4）

当N1 ＝32时：32＝Ｒ1（mod 3）

32=2（mod 3）

32=5（mod 3）

即2、5为同余数

挂 归厅总余数：Ｒ1+1=2（5）+1=3（6）

第二变 将第一变左手指中的3或6弃之得：

N2 =N-3（6）=33-3（6）=30（27）

分二，不再挂一：N2 = a2+b2

a2＝Ｒa2（mod 3）

b2＝Ｒb2（mod 3）

（6）+（7）= a2+b2=（Ｒa2Ｒb2）（mod 3）

N2 =Ｒ2（mod 3）

当N2 =30时，30=Ｒ2（mod 3）

30=3（mod 3）

30=6（mod 3）

当N2 =27时，27=3（mod 3）

27=6（mod 3）

即同余数为3、6。

例：易经是经十八变而成卦，三变成一爻。太玄每二变成一画，经八变成方州部家。

第一变用33根蓍草，挂一于小指间，余下32根随意分左右二簇，左簇以三揲之后余1，夹于左手指间，右簇以三揲之后为1，夹于左手指间，此时夹于左手的根数为3根。

第二变将3根弃之不用，余30根不再挂一，随意分左右两簇，左簇以三揲之余3，夹于左手指间，右簇以三拒之余3，夹于左手指间，最后余下的为8堆（每堆3根），即为二，从上往下画，称为二方--。

第三变重复上述步骤，仍以33 根蓍草，挂一于小指间，余下32根随意分左右两簇，左簇以三揲之余3，夹于左手指间，右簇以三揲之余2，夹于左手指间，此时，夹于左手的根数共为6根。

第四变 将6根弃之不用，余27根不再挂一，而随意分为左右两簇，左簇以三揲之余3，夹于左手指间，右簇亦以三揲之余3，夹于左手指间，最后余为7堆（每堆3根）即为一称为州—。

同理，通过第五变和第六变，可求出或7或8或9，如求出为9，则为三，称为三部---。

同理，通过第七变和第八变，可求出或7或8或9，如求出为9，则为三，称为三家---。

由上往下画即得一州三部三家。